Question

若α，β均为锐角，sinα=

2 5

5

，sin（α+β）=

3

5

，则cosβ=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之．

解答： 解：∵α为锐角，sinα=

2 5

5

＞

2

2

，∴cosα=

5

5

，
∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

5

5

（2cosβ+sinβ）=

3

5

，且

1

2

＜

3

5

＜

2

2

，
∴2cosβ+sinβ=

3 5

5

，且

π

2

＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-

4

5

，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-

4

5

×

5

5

+

3

5

×

2 5

5

=

2 5

25

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．