Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式2+

3

4

+

4

9

+…+

n+1

n2

＞ln（n+1）都成立．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：压轴题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）函数f（x）=ln（x+a）-x²-x，对其进行求导，在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，求得a值；
（Ⅱ）关于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，将问题转化为φ（x）=0，在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，对φ（x）对进行求导，从而求出b的范围；
（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）-x²-x的定义域为{x|x＞-1}，利用导数研究其单调性，可以推出ln（x+1）-x²-x≤0，令x=

1

n

，可以得到ln（

1

n

+1）＜

1

n

+

1

n2

，利用此不等式进行放缩证明；

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=ln（x+a）-x²-x
f′（x）=

1

x+a

-2x-1              
当x=0时，f（x）取得极值，
∴f′（0）=0                                    
故

1

0+a

-2×0-1=0，
解得a=1，经检验a=1符合题意，
则实数a的值为1；
（Ⅱ）由a=1知f（x）=ln（x+1）-x²-x
由f（x）=-

5

2

x+b，得ln（x+1）-x²+

3

2

x-b=0
令φ（x）=ln（x+1）-x²+

3

2

x-b，
则f（x）=-

5

2

x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ（x）=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根．
φ′（x）=

1

x+1

-2x+

3

2

=

-(4x+5)(x-1)

2(x+1)

，
当x∈[0，1]时，φ′（x）＞0，于是φ（x）在[0，1）上单调递增；
当x∈（1，2]时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上单调递减，
依题意有φ（0）=-b≤0，
φ（1）=ln（1+1）-1+

3

2

-b＞0，
φ（2）=ln（1+2）-4+3-b≤0
解得，ln3-1≤b＜ln2+

1

2

，
故实数b的取值范围为：[ln3-1，ln2+

1

2

）；       
（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）-x²-x的定义域为{x|x＞-1}，由（1）知f（x）=

-x(2x+3)

x+1

，
令f′（x）=0得，x=0或x=-

3

2

（舍去），
∴当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（0）为f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）-x²-x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）
对任意正整数n，取x=

1

n

＞0得，ln（

1

n

+1）＜

1

n

+

1

n2

∴ln（

n+1

n

）＜

n+1

n2

，
故2+

3

4

+

4

9

+…+

n+1

n2

＞ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln（n+1）．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，第三问难度比较大，利用了前两问的结论进行证明，此题是一道中档题．