Question

一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．
（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，求恰有两次编号为3的倍数的概率；
（Ⅱ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列和X的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式

专题：概率与统计

分析：（I）从袋中随机抽取1个球，由已知条件求出其编号为3的倍数的概率，由此能求出有放回的抽取3次，恰有2次编号为3的倍数的概率．
（II）随机变量X所有可能的取值为3，4，5，6．分别求出P（X=3），P（X=4），P（X=5），P（X=6），由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．

解答： 解：（I）从袋中随机抽取1个球，
其编号为3的倍数的概率p=

2

6

=

1

3

，（2分）
有放回的抽取3次，恰有2次编号为3的倍数的概率为
P₃（2）=

C

1 3

(

1

3

)2(1-

1

3

)=

6

27

．（6分）
（II）随机变量X所有可能的取值为3，4，5，6．（7分）
P（X=3）=

C 3 3

C 3 6

=

1

20

，P（X=4）=

C 2 3

C 3 6

=

3

20

，
P（X=5）=

C 2 4

C 3 6

=

3

10

，P（X=6）=

C 2 5

C 3 6

=

1

2

，
∴随机变量X的分布列为：

X	3	4	5	6
P	1 20	3 20	3 10	1 2

（11分）
EX=3×

1

20

+4×

3

20

+5×

3

10

+6×

1

2

=

21

4

．（13分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合的合理运用．