Question

（1）已知直线x+y=a与圆x²+y²=4交于A，B两点，且|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|其中O为坐标原点，求a的值；
（2）圆C的方程为（x-2）²+y²=4，圆M的方程为（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别是E，F，求

PE

•

PF

的最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立直线x+y=a与圆x²+y²=4，化为2x²-2ax+a²-4=0．△＞0．得到根与系数的关系，利用|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，可得x₁x₂+y₁y₂=0，代入计算即可；
（2）由两圆的圆心距|CM|=5大于两圆的半径之和可得两圆相离，则

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

，利用
 两个向量的数量积的定义求出

HE

•

HF

的值，即为所求．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立直线x+y=a与圆x²+y²=4，化为2x²-2ax+a²-4=0．
△=4a²-8（a²-4）=4（8-a²）＞0．（*）．
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=

a2-4

2

．
∵|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|．
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（a-x₁）（a-x₂）=0，
∴a²-4-a²+a²=0，
解得a=±2，满足（*）．
（2）（x-2）²+y²=4的圆心C（2，0），半径等于2，
圆M  （x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1，
圆心M（2+5cosθ，5sinθ），半径等于1．
∵|CM|=5＞2+1，故两圆相离．
∵

PE

•

PF

=|

PE

|•|

PF

|•cos∠EPF，要使

PE

•

PF

最小，需|

PE

|、|

PF

|最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆M交于H、G两点，则

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

．
|H C|=|CM|-1=5-1=4，|H E|=

|HC|2-|CE|2

=2

3

，
sin∠CHE=

|CE|

|CH|

=

1

2

，
∴cos∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin²∠CHE=

1

2

，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2

3

×2

3

×

1

2

=6，

点评：本题考查直线与圆、两圆的位置关系，两圆的切线，两个向量的数量积的定义，二倍角的余弦公式，体现了数形结合的数学思想，判断

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

是解题的关键，属于中档题．