Question

2．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（-∞，0]上满足$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，且f（1）=0，则使得$\frac{f（x）}{x}$＜0的x的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• C． （-1，0）∪（1，+∞）
• D． （-1，1）

Answer 1

分析 由题意可得奇函数f（x）在（-∞，0]上单调递减，f（1）=0，f（-1）=0，可得函数f（x）的单调性示意图，数形结合求得使$\frac{f（x）}{x}$＜0的x的取值范围．

解答 解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，
且在（-∞，0]上满足$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
故函数f（x）在（-∞，0]上单调递减．
∵f（1）=0，∴f（-1）=0，
故函数f（x）的单调性示意图，如图所示：
则由 $\frac{f（x）}{x}$＜0，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$ ②．
解①求得x＞1，解②求得x＜-1，
故不等式的解集为{x|x＞1，或 x＜-1}，
故选：B．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．