Question

12．若函数f（x）=x³-12x在区间（k-1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（　　）

• A． k≤-3或-1≤k≤1或k≥3
• B． 不存在这样的实数k
• C． -2＜k＜2
• D． -3＜k＜-1或1＜k＜3

Answer 1

分析 由题意得，区间（k-1，k+1）内必须含有导函数的零点2或-2，即k-1＜2＜k+1或k-1＜-2＜k+1，解之即可求出实数k的取值范围．

解答 解：由题意可得f′（x）=3x²-12 在区间（k-1，k+1）上至少有一个零点，
而f′（x）=3x²-12的零点为±2，区间（k-1，k+1）的长度为2，
故区间（k-1，k+1）内必须含有2或-2．
∴k-1＜2＜k+1或k-1＜-2＜k+1，
∴1＜k＜3 或-3＜k＜-1，
故选D．

点评 本题考查函数的单调性与导数的关系，把函数在区间上不是单调函数转化为导函数在区间上有零点是解决问题的关键，属中档题．