Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件b²+c²-a²=bc=1，cosBcosC=-$\frac{1}{8}$，则△ABC的周长为$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理求出角A，利用两角和的余弦公式求出sinBsinC的值，
结合正弦定理求出△ABC外接圆的半径R与边长a，再求出b+c即可．

解答 解：△ABC中，b²+c²-a²=bc=1，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∴B+C=$\frac{2π}{3}$，
即cos（B+C）=cosBcosC-sinBsinC=-$\frac{1}{2}$；
又cosBcosC=-$\frac{1}{8}$，
∴sinBsinC=cosBcosC+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，
∴bc=4R²sinBsinC=4R²×$\frac{3}{8}$=1，
解得R=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，其中R为△ABC的外接圆的半径；
∴a=2RsinA=2×$\frac{\sqrt{6}}{3}$×sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{2}$，
∴b²+c²-2=1，
解得b²+c²=3，
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=3+2×1=5，
∴b+c=$\sqrt{5}$，
∴△ABC的周长为a+b+c=$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理的灵活应用问题，也考查了三角形内角和与两角和的余弦公式问题，是综合性题目．