Question

12．已知二次函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（Ⅰ）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，求f（x）在区间[1，a+1]上的最小值和最大值；
（Ⅲ） 若f（x）在区间（1，3）上有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题设知：f（x）在[1，a]上单调递减，则有$\left\{\begin{array}{l}f（1）=a\\ f（a）=1\end{array}\right.$，解得实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，则a≥2，结合函数的单调性，可得f（x）在区间[1，a+1]上的最小值和最大值；
（Ⅲ） 若f（x）在区间（1，3）上有零点，则1＜a＜3，且函数的最小值不大于0，进而得到答案．

解答 解：由题设知：函数化为f（x）=（x-a）²+5-a²，其对称轴为x=a（a＞1）．…（1分）
（Ⅰ）由题设知：f（x）在[1，a]上单调递减，
则有$\left\{\begin{array}{l}f（1）=a\\ f（a）=1\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}6-2a=a\\ 5-{a^2}=1\end{array}\right.$…（3分）
∴a=2…（4分）
（Ⅱ） 由题设知：a≥2，则有a-1≥1=（a+1）-a；…（5分）
又f（x）在[1，a]上单调递减，在[a，a+1]上单调递增；  …（6分）
∴$f{（x）_{min}}=f（a）=5-{a^2}$，f（x）_max=f（1）=6-2a…（8分）
（Ⅲ）由题设知：当a≥3时，f（x）＜f（1）≤0，则f（x）在区间（1，3）上无零点； …（9分）
当1＜a＜3时，f（1）＞0且f（x）在（1，a]上单调递减，在[a，3）上单调递增；…（10分）
∴$f{（x）_{min}}=f（a）=5-{a^2}≤0$，即$a≥\sqrt{5}$…（11分）
由上述知：$\sqrt{5}≤a＜3$…（12分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．