Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c满足一下条件
①x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥x；
②x∈（0，2）时，f（x）≤（x+12）2；
③f（x）在R上的最小值0；
（1）求f（x）的解析式；
（2）求最大的实数m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由已知求得函数的对称轴方程，再由x∈（0，2）时，x≤f（x）≤

1

2

(x2+1)恒成立求得f（1）=1，
结合函数的最小值联立方程组求得a，b，c的值，则函数解析式可求；
（2）由f（x+t）≤x在x∈[1，m]恒成立得到

t≥-x-2 x -1 t≤-x+2 x -1

在[1，m]上恒成立，分别求出两个函数的最大最小值，进一步得-(

m

-1)2≥-4，由此求得m的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x-4）=f（2-x），
∴函数图象关于直线x=-1对称，
∴-

b

2a

=-1，b=2a，
又∵x∈（0，2）时，x≤f（x）≤

1

2

(x2+1)恒成立，
∴1≤f（1）≤

1

2

(12+1)=1，即f（1）=1
∴a+b+c=1，
又∵f（x）在R上的最小值为0，
∴f（-1）=0，即a-b+c=0，
由

b=2a a+b+c=1 a-b+c=0

，解得a=c=

1

4

，b=

1

2

，
∴f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

；
（2）由（1）知f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

=

1

4

(x+1)2，
由f（x+t）≤x，得（x+t+1）²≤4x且x∈[1，m]，
则

t≥-x-2 x -1 t≤-x+2 x -1

在[1，m]上恒成立，
∴

t≥(-x-2 x -1)max t≤(-x+2 x -1)min

，
∵y=-x-2

x

-1在[1，m]上递减，
∴(-x-2

x

-1)max=-4，
∵y=-x+2

x

-1在[1，m]上递减，
∴(-x-2

x

-1)min=-m+2

m

-1=-(

m

-1)2，
∴-4≤t≤-(

m

-1)2，
∴-(

m

-1)2≥-4，
(

m

-1)2≤4，
∵m＞1，
∴

m

-1≤2，
∴m≤9．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，训练了利用恒成立求参数的取值范围，体现了数学转化思想方法，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题．