Question

某厂家准备在2014年12月份举行促销活动，依以往的数据分析，经测算，该产品的年销售量x万件（假设该厂生产的产品全部销售），与年促销费用y万元（0≤m≤4）近似满足x=3-

k

m+1

（k为常数），如果不促销，该产品的年销售量只能是1万件，已知2014年生产该产品的固定投入8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格规定的每件产品生产平均成本的1.5倍，（产品生产平均成本指固定投入和再投入两部分资金的平均成本）．
（1）将2014年该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2014年的年促销费用投入为多少万元时，该厂家的年利润最大？并求出最大年利润．
（3）在年销量不少于2万件的前提下，厂家的年利润是否随着年促销费用的增加而增加？说明理由．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,分段函数的应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1））由m=0，x=1可得x=3-

2

m+1

，从而写出y=x•（1.5

8+16x

x

）-（8+16x+m），化简得y=29-[

16

m+1

+（m+1）]，（0≤m≤4）；
（2）由基本不等式求函数的最大值，从而得到最大利润；
（3）求导以判断函数的单调性，转化为实际问题及可．

解答： 解：（1）由m=0，x=1得，k=2，∴x=3-

2

m+1

，
每件产品的销售价格为：1.5

8+16x

x

，
∴2014年的利润y=x•（1.5

8+16x

x

）-（8+16x+m）
=4+8x-m=-[

16

m+1

+（m+1）]+29，（0≤m≤4），
即y=29-[

16

m+1

+（m+1）]，（0≤m≤4）．
（2）由y=29-[

16

m+1

+（m+1）]≤29-2

16

=21．
（当且仅当

16

m+1

=m+1，即m=3时，等号成立）
故该厂家2014年的年促销费用投入为3万元时，该厂家的年利润最大，
最大年利润为21万元．
（3）由x=3-

2

m+1

≥2，0≤m≤4可得，1≤m≤4，
由y′=-1+

16

(m+1)2

≥0解得1≤m≤3，
由y′=-1+

16

(m+1)2

≤00解得3≤m≤4；
故当1≤m≤3时，厂家的年利润随着年促销费用的增加而增加；
当3≤m≤4时，厂家的年利润随着年促销费用的增加而减少；
故在年销量不少于2万件的前提下，
厂家的年利润不是随着年促销费用的增加而增加．

点评：本题考查了函数的应用，同时用到了基本不等式与导数，属于中档题．