Question

设f（x）=

1

3

x3+

1

2

(b-1)x2-bx，b∈R
（1）当b=1时，求f（x）的单调区间；
（2）当f（x）在R上有且仅有一个零点时，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）首先求出函数的导数，然后分别令f′（x）＜0，f′（x）＞0，求出函数的单调区间；
（2）求出导数，对b讨论，由于函数f（x）在R上有且仅有一个零点，则函数的极大值小于0，或者是函数的极小值大于0，解出参数范围即可．

解答： 解：（1）f′（x）=x²+（b-1）x-b，由于b=1，则有
f′（x）=x²-1，
令f′（x）＞0，得x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，得-1＜x＜1，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）和（1，+∞），
单调递减区间是（-1，1）．
（2）f′（x）=x²+（b-1）x-b=（x+b）（x-1），
则-b，1为方程f′（x）=0的两根，
若b=-1，则f′（x）≥0，f（x）递增，成立；
若b＞-1，则f（x）在（-∞，-b），（1，+∞）递增，在（-b，1）递减，
则f（1）为函数f （x）极小值，且为-

b

2

-

1

6

，f（-b）为极大值，且为

b2

2

+

1

6

b3．
由于函数f （x） 在R上有且仅有一个零点，
则-

b

2

-

1

6

＞0或

b2

2

+

1

6

b3＜0，解得，-1＜b＜-

1

3

；
若b＜-1时，则f（x）在（-∞，-b），（1，+∞）递减，在（-b，1）递增．
则f（1）为函数f （x）极大值，且为-

b

2

-

1

6

，f（-b）为极小值，且为

b2

2

+

1

6

b3．
由于函数f （x） 在R上有且仅有一个零点，
则-

b

2

-

1

6

＜0或

b2

2

+

1

6

b3＞0，解得，-3＜b＜-1．
则b的取值范围为：-3＜b＜-

1

3

．

点评：此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度不大．