Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项的和为S_n，且满足2a_n+1+S_n=2（n∈N^*）．则满足

1001

1000

＜

S2n

Sn

＜

11

10

的n的最大值为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：根据递推数列的关系判断数列是等比数列，求出数列的前n项和解不等式即可．

解答： 解：∵2a_n+1+S_n=2，
∴当n≥2时，2a_n+S_n-1=2，
两式相减得2a_n+1+S_n-2a_n-S_n-1=2a_n+1+a_n-2a_n=0，
即2a_n+1=a_n，
则

an+1

an

=

1

2

，（n≥2），
当n=1时，2a₂+S₁=2，
即2a₂+1=2，则a₂=

1

2

，
满足

a2

a1

=

1

2

，
即

an+1

an

=

1

2

，（n≥1），
则数列数列{a_n}是公比q=

1

2

的等比数列，
则S_n=

1×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=2[1-（

1

2

）ⁿ]，S_2n=2[1-（

1

2

）²ⁿ]，
则

S2n

Sn

=

1-( 1 2 )2n

1-( 1 2 )n

=1+（

1

2

）ⁿ，
由

1001

1000

＜

S2n

Sn

＜

11

10

得

1001

1000

＜1+（

1

2

）ⁿ＜

11

10

，
即

1

1000

＜（

1

2

）ⁿ＜

1

10

，
∵（

1

2

）⁹=

1

512

，（

1

2

）⁸=

1

256

，（

1

2

）¹⁰=

1

1024

，
∴满足条件的n=9，
故答案为：9．

点评：本题主要考查数列求和的计算，根据数列的递推关系判断数列是等比数列是解决本题的关键．