题目内容
函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时，总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数，下列说：
①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；
②函数y=tanx，x∈（-
，
）是单函数；
③若函数f（x）是单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；
④若f：A→B是单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
⑤若函数f（x）是某区间上的单函数，则函数f（x）在该区间上具有单调性．
其中正确的是 ．（写出所有正确的序号）
①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；
②函数y=tanx，x∈（-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
③若函数f（x）是单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；
④若f：A→B是单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
⑤若函数f（x）是某区间上的单函数，则函数f（x）在该区间上具有单调性．
其中正确的是
考点：命题的真假判断与应用
专题：简易逻辑
分析：①由于（±1）2=1，可得函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数；
②利用单函数的定义即可判断出；
③利用反证法即可判断出；
④若f：A→B是单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象，如若不然，b有两个原象，则函数f（x）不是单函数；
⑤不正确，举反例：f（x）=
，f（x）是区间[1，2）上的单函数，但不是单调函数．
②利用单函数的定义即可判断出；
③利用反证法即可判断出；
④若f：A→B是单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象，如若不然，b有两个原象，则函数f（x）不是单函数；
⑤不正确，举反例：f（x）=
|
解答：
解：对于①由于（±1）2=1，因此函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数，不正确；
对于②函数y=tanx，在x∈（-
，
）是单调函数，可得函数y=tanx是单函数，正确；
对于③若函数f（x）是单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2），利用反证法即可得出正确；
对于④若f：A→B是单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象，如若不然，b有两个原象，则函数f（x）不是单函数，因此正确；
对于⑤若函数f（x）是某区间上的单函数，则函数f（x）在该区间上具有单调性，不正确，举反例：f（x）=
，f（x）是区间[1，2）上的单函数，但不是单调函数．
其中正确的是 ②③④．
对于②函数y=tanx，在x∈（-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
对于③若函数f（x）是单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2），利用反证法即可得出正确；
对于④若f：A→B是单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象，如若不然，b有两个原象，则函数f（x）不是单函数，因此正确；
对于⑤若函数f（x）是某区间上的单函数，则函数f（x）在该区间上具有单调性，不正确，举反例：f（x）=
|
其中正确的是 ②③④．
点评：本题考查了新定义“单函数”的定义及其性质、单函数与单调函数之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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已知函数f（x）=
sinx+
cosx，则f（
）=（ ）
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| π |
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A、
| ||||
B、
| ||||
| C、1 | ||||
D、
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已知函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移
个单位后得到g（x）=cos（2x+
），则φ的值为（ ）
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
A、-
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B、-
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C、
| ||
D、
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