Question

已知|x+2y+3z|≥4（x，y，z∈R）
（Ⅰ）求x²+y²+z²的最小值；
（Ⅱ）若|a+2|≤

7

2

（x²+y²+z²）对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：一般形式的柯西不等式,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（I）利用柯西不等式即可得出；
（II）由（I）可得x²+y²+z²的最小值为

8

7

．因此|a+2|≤4，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵（x+2y+3z）²≤（1²+2²+3²）（x²+y²+z²），且|x+2y+3z|≥4（x，y，z∈R）．
∴x²+y²+z²≥

8

7

，当且仅当

x

1

=

y

2

=

z

3

时取等号．
即x²+y²+z²的最小值为

8

7

．
（Ⅱ）∵x²+y²+z²的最小值为

8

7

．
∴|a+2|≤

7

2

×

8

7

=4，
∴-4≤a+2≤4，
解得-6≤a≤2，
即a的取值范围为[-6，2]．

点评：本题考查了柯西不等式、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．