Question

已知下列命题：
①函数y=2sin（x-

π

4

）在（

3π

4

，

7π

4

）单调递增；
②当x＞0且x≠1时，lgx+

1

lgx

≥2；
③已知

a

=（1，2），

b

=（-2，-1），则

a

在

b

上的投影值为-

4 5

5

；
④设f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），若f（x）＞0的解集为（2，4）则f（x+1）＜0的解集是（-∞，1）∪（3，+∞）
则其中所有正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：由复合函数的单调性判断①；利用基本不等式求最值判断②；由平面向量的数量积运算求出

a

在

b

上的投影值判断③；由补集思想结合已知求出f（x）＜0的解集，再由函数的图象平移求得f（x+1）＜0的解集判断④．

解答： 解：对于①，当x∈（

3π

4

，

7π

4

）时，x-

π

4

∈(

π

2

，

3π

2

)，
∴函数y=2sin（x-

π

4

）在（

3π

4

，

7π

4

）单调递减，．①错误；
对于②，当x＞1时，lgx＞0，lgx+

1

lgx

≥2，
当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+

1

lgx

=-（-lgx+

1

-lgx

）≤-2．②错误；
对于③，已知

a

=（1，2），

b

=（-2，-1），则

a

•

b

=-2-2=-4，
又|

b

|=

(-2)2+(-1)2

=

5

，
∴

a

在

b

上的投影值为

-4

5

=-

4 5

5

．③正确；
对于④，设f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），若f（x）＞0的解集为（2，4）则f（x）＜0的解集是（-∞，2）∪（4，+∞），
∴f（x+1）＜0的解集是（-∞，1）∪（3，+∞）．④正确．
∴正确的命题是③④．
故答案为：③④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的单调性，考查了向量在向量方向上的投影，是中档题．