Question

在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE=AD=EF=

1

2

BC，G是BC的中点．
（1）求证：AB∥平面DEG；
（2）求证：平面EGD⊥平面BDF．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先证明四边形ADGB是平行四边形，可得AB∥DG，从而证明AB∥平面DEG．
（2）连接GF，可证得四边形BGFE为菱形，进而BF⊥EG，由AE⊥底面BEFC，可得DF⊥EG，由线面垂直的判定定理可得：EG⊥平面BDF，再由面面垂直的判定定理，可得平面EGD⊥平面BDF．

解答： 证明：（1）∵AD∥EF，EF∥BC，
∴AD∥BC．
又∵BC=2AD，G是BC的中点，
∴AD=BG，
∴四边形ADGB是平行四边形，
∴AB∥DG．
∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，
∴AB∥平面DEG．
（2）连接GF，四边形ADFE是矩形，
∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，
∴DF⊥平面BCFE，
又∵EG?平面BCFE，
∴DF⊥EG．
∵EF=BG，EF∥BG，EF=BE，
∴四边形BGFE为菱形，
∴BF⊥EG，
又BF∩DF=F，BF?平面BFD，DF?平面BFD，
∴EG⊥平面BDF．
∵EG?平面EGD，
∴平面EGD⊥平面BDF．

点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，考查学生的空间想象能力，属中档题．