Question

已知边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，P是棱CC₁上任一点，CC₁=m，（0＜m＜2）．
（1）是否存在满足条件的实数m，使平面BPD₁⊥面BDD₁B₁？若存在，求出m的值；不存在，说明理由．
（2）是否存在实数m，使得三棱锥B-PAC和四棱锥P-A₁B₁C₁D₁的体积相等？存在，求出m的值；不存在，说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）存在m=1，使平面BPD₁⊥面BDD₁B₁，连接AC，AC₁，BD₁，设AC₁∩BD₁=H，由H是AC₁的中点，连接PH，进而由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理可得答案；
（2）存在m=

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，使三棱锥B-PAC和四棱锥P-A₁B₁C₁D₁的体积相等，由三棱锥B-PAC即四棱锥P-ABC和四棱锥P-A₁B₁C₁D₁的底面积之比为1：2，三棱锥B-PAC和四棱锥P-A₁B₁C₁D₁的体积相等，可得：两个棱锥的高之比应为：2：1，即PC：PC₁=2：1，即m：（2-m）=2：1，解得答案．

解答： 解：（1）存在m=1，使平面BPD₁⊥面BDD₁B₁，理由如下：

连接AC，AC₁，BD₁，设AC₁∩BD₁=H，
由H是AC₁的中点，连接PH，
由m=1时，P为CC₁的中点，可得PH是△C₁AC的中位线，
则PH∥AC，
∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，BD∩BB₁=B，BD，BB₁?面BDD₁B₁，
∴AC⊥面BDD₁B₁，
∴PH⊥面BDD₁B₁，
又∵PH?平面BPD₁，
∴平面BPD₁⊥面BDD₁B₁；
（2）存在m=

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，使三棱锥B-PAC和四棱锥P-A₁B₁C₁D₁的体积相等，理由如下：
∵三棱锥B-PAC即四棱锥P-ABC和四棱锥P-A₁B₁C₁D₁的底面积之比为1：2，
若三棱锥B-PAC和四棱锥P-A₁B₁C₁D₁的体积相等，
则两个棱锥的高之比应为：2：1，
即PC：PC₁=2：1，
即m：（2-m）=2：1，
解得：m=

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点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，难度中档．