Question

已知函数f（x）是定义在R上不恒为零的函数，且对于任意实数a，b∈R，满足：f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，a_n=

f(2n)

n

（n∈N^*），b_n=

f(2n)

2n

（n∈N^*）．
考察下列结论：①f（0）=f（1）；  
②f（x）为偶函数； 
③数列{a_n}为等比数列； 
④数列{b_n}为等差数列．
其中正确的结论共有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：运用f（ab）=af（b）+bf（a）等式，赋值求解f（1），f（-1），f（0）的值求解即可．判断奇偶性，运用f（-x）=（-1）×f（x）+xf（-1）=-f（x）即可判断，有特殊到一般归纳得：f（2ⁿ）=n×2ⁿ，（n∈N^*）．再判断数列{a_n}为等比数列； 数列{b_n}为等差数列．，运用定义即可．

解答： 解：（1）对于任意实数a，b∈R，满足：f（ab）=af（b）+bf（a），
f（0×0）=2f（0），f（0）=0，
f（1×1）=2f（1），f（1）=0，
故①f（0）=f（1）正确；
（2）∵f[（-1）×（-1）]=-2f（-1），
f（1）=-2f（-1）=0，f（-1）=0
∴f（-x）=（-1）×f（x）+xf（-1）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，故②不正确；
（3）根据f（ab）=af（b）+bf（a），
得到：f（2）=2
f（2²）=2•2²，
f（2³）=3×2³，
f（2⁴）=f（2²×2²）=4×2⁴，
归纳得：f（2ⁿ）=n×2ⁿ，（n∈N^*）．
∴a_n=

f(2n)

n

=2ⁿ，
∴

an+1

an

=

2n+1

2n

=2=常数（n∈N^*）．
③数列{a_n}为等比数列正确；
∵b_n=

f(2n)

2n

=

n2n

2n

=n，（n∈N^*）．
b_n+1-b_n=n+1-n=1=常数，（n∈N^*）．
∴④数列{b_n}为等差数列正确；
所以①③④正确，
故选：C

点评：本题综合考查了函数的性质，与数列的相关知识，对抽象函数的考察很好，锻炼了对数学式子的理解．