Question

已知函数f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．
（1）求实数a及函数f（x）的值域；
（2）关于x的不等式t•f（x）≤2^x+2对任意x∈R恒成立，求实数t的取值范围；
（3）附加题：当x、y＞0时，求证f（

x+y

2

）≥

f(x)+f(y)

2

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的值域

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由定义在实数上的奇函数有f（0）=0列式求得a的值，并结合指数函数的值域求得函数f（x）的值域；
（2）由x得范围对x分类，然后利用分离参数法求得实数t的取值范围；
（3）要证明当x、y＞0时，f（

x+y

2

）≥

f(x)+f(y)

2

，即证明函数f（x）为上凸增函数，借助于二次求导可得答案．

解答： （1）解：∵函数f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0且a≠1）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，
∴f（0）=1-

4

2+a

=0，解得a=2，
∴f(x)=1-

4

2•2x+2

=1-

2

2x+1

．
∵2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，-1＜1-

2

2x+1

＜1，
则f（x）∈（-1，1）；
（2）解：由（1）得f（x）=

2x-1

2x+1

，
关于x的不等式t•f（x）≤2^x+2对任意x∈R恒成立，
当f（x）=0时，对于任意实数t都成立；
当f（x）∈（0，1），即x∈（0，+∞）时，
则等价于t≤

2x+2

f(x)

=

(2x+2)(2x+1)

2x-1

=

(2x-1+3)(2x-1+2)

2x-1

．
令m=2^x-1，则m＞0，
即t≤m+

6

m

+5．
∵m+

6

m

+5≥2

m• 6 m

+5=2

6

+5（当且仅当m=

6

时取等号）．
∴t≤2

6

+5；
当f（x）∈（-1，0），即x∈（-∞，0）时，
则等价于t≥

2x+2

f(x)

=

(2x+2)(2x+1)

2x-1

=

(2x-1+3)(2x-1+2)

2x-1

．
令m=2^x-1，则-1＜m＜0，
即t≥m+

6

m

+5．
∵m+

6

m

+5＜-2．
t≥-2．
综上，所求的t范围是：-2≤t≤2

6

+5；
（3）证明：由（1）得f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵f′(x)=(1-

2

2x+1

)′=

2•2xln2

(2x+1)2

＞0，
∴f（x）为（0，+∞）上的增函数，
又[f′（x）]′=

2•ln22•2x(2x+1)2-4•ln22•22x(2x+1)

(2x+1)4

=

2ln22•2x(2x+1)(1-2x)

(2x+1)4

＜0（x＞1）．
∴函数f（x）=

2x-1

2x+1

为上凸增函数，
则f（

x+y

2

）≥

f(x)+f(y)

2

．

点评：本题考查函数的奇偶性，单调性，不等式恒成立含参数的取值范围．考查转化计算、推理论证，参数分离的方法与能力，考查了利用导数研究函数的单调性，是压轴题．