Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=

1

2

，且满足2S_n+1=4S_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当1≤i≤n，1≤j≤n（i，j，n均为正整数）时，求a_i和a_j的所有可能的乘积a_ia_j之和．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）由2S_n+1=4S_n+1，再写一式，两式相减，确定数列{a_n}是首项为

1

2

，公比为2的等比数列，即可求出a_n．
（Ⅱ）由a_i和a_j的所有可能乘积a_i•a_j=2^i+j（1≤i≤j≤n）可构成下表：2^1+1-4，2^1+2-4，2^1+3-4，…，2^1+n-4，2^2+1-4，2^2+2-4，…，2^2+n-4，2^n+1-4，2^n+2-4，2ⁿ⁺³，…，2^n+n-4，即可求a_i和a_j的所有可能的乘积a_ia_j之和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵2Sn+1=4Sn+1 (n∈N*)，∴2Sn=4Sn-1+1 (n≥2，n∈N*)，（1分）
两式相减得a_n+1=2a_n，∴

an+1

an

=2(n≥2，n∈N*)，（2分）
由2S₂=4S₁+1得2（a₁+a₂）=4a₁+1，又a1=

1

2

，∴a2=1，

a   2

a1

=2．（3分）
∴数列{a_n}是首项为

1

2

，公比为2的等比数列，
∴an=2n-2．（5分）
（Ⅱ）由a_i和a_j的所有可能乘积ai•aj=2i+j-4（1≤i≤n，1≤j≤n）      （6分）
可构成下表：2^1+1-4，2^1+2-4，2^1+3-4，…，2^1+n-4，2^2+1-4，2^2+2-4，…，2^2+n-4，2^n+1-4，2^n+2-4，2ⁿ⁺³，…，2^n+n-4，（8分）
设上表第一行的和为T₁，则T1=

1 4 (1-2n)

1-2

=

1

4

(2n-1)（10分）
于是Tn=T1(1+2+22+…+2^n-1）=

1

4

(2n-1)

1-2n

1-2

=

1

4

(2n-1)2（12分）

点评：考查等差数列、等比数列、不等式的证明、数列的求和等知识，考查推理论证能力和运算求解能力和化归转化数学思想．