Question

命题p：实数x满足x²-2（a-2）x-8a＜0；命题q：实数x满足

|2x+5|＜7 x+3 x-2 ≥0

（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（1）若a=1，且p∧q为真，则等价为p，q同时为真命题，建立条件关系即可求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，等价为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1 ）若a=1，对于p：x²+2x-8＜，解得-4＜x＜2，
对于q：

|2x+5|＜7 x+3 x-2 ≥0

等价为

-7＜2x+5＜7 x＞2或x≤-3

，即

-6＜x＜1 x＞2或x≤-3

，
解得-6＜x≤-3，
∵p∧q为真，
∴p，q同时为真命题，则

-4＜x＜2 -6＜x≤-3

，
解得-4＜x≤-3，即x∈（-4，-3]．
（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，
则q是p的必要不充分条件，
即p⇒q，
∵p：（x-2a）（x+4）＜0，
∴（1）当a＞-2时，p：-4＜x＜2a，此时2a≤-3，即a≤-

3

2

；
（2）当a=-2时，p：（x+4）²＜0，解集为空集，符合题意；
（3）当a＜-2时，p：2a＜x＜-4，此时2a≥-6，即a≥-3；
综上a的取值范围是 a∈[-3，≤-

3

2

]．

点评：本题主要考查复合命题的真假应用，以及充分条件和必要条件的应用，考查学生的推理能力．利用不等式的性质是解决本题的关键．