Question

已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（-x）=

1

f(x)

．设F（x）=

1-f(x)

1+f(x)

．
（1）求函数y=F（x）值域和零点；
（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调性，并给予证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域,函数奇偶性的判断

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）确定函数y=F（x）的解析式，利用值域为（0，+∞），即可求函数y=F（x）值域和零点；
（2）利用奇偶性和单调性的定义，即可判断函数y=F（x）奇偶性和单调性．

解答： 解：（1）∵f（-x）=

1

f(x)

，
∴F（x）=

1-f(x)

1+f(x)

=-1+

2

1+f(x)

，
∵f（x）＞0，∴0＜

1

1+f(x)

＜1
∴-1＜F（x）＜1，
故y=F（x）的值域为（-1，1）；----------------------------------------（4分）
∵f（-x）=

1

f(x)

，
∴令x=0，f（0）=±1，
∵f（x）＞0，∴f（0）=1．
故y=F（x）的零点为x=0------------------------------------------------（4分）
（2）对任意的x∈R，F（-x）=

1-f(-x)

1+f(-x)

=-

1-f(x)

1+f(x)

=-F（x），--------（3分）
∴y=F（x）是奇函数．-------------------------------------------（2分）
由已知，y=f（x）在定义域R上是增函数，
∴对任意的x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，都有f（x₁）-f（x₂）＜0．
又F（x₁）-F（x₂）=

2

1+f(x1)

-

2

1+f(x2)

=

f(x2)-f(x1)

[1+f(x1)][1+f(x2)]

＞0．------------（3分）
∴y=F（x）在定义域R上是减函数．-----------------------------------------------------（2分）

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．