Question

已知函数f(x)=lnx-

1

2

ax2+bx(a＞0)且f′（1）=0
（1）试用含有a的式子表示b；
（2）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（3）对于曲线上的不同两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲线上的点Q（x₀，y₀）且x₁＜x₀＜x₂，使得曲线在点Q处的切线l∥P₁P₂，则称P₁P₂存在“陪伴切线”．特别地，当x0=

x1+x2

2

时，又称P₁P₂存在“中值陪伴切线”．试问：在函数f（x）上是否存在两点P₁，P₂使得它存在“中值陪伴切线”？若存在，求出P₁，P₂的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数解决，由f′（1）=0即得；
（2）利用导数求得函数的单调区间即可；
（3）假设k=f′（x₀），则得ln

x1

x2

=

2 x1 x2 -2

x1 x2 +1

，令t=

x1

x2

，则u（t）=lnt-

2t-2

t+1

（0＜t＜1），
利用导数求得u（t）＜u（1）=0，假设k=f′（x₀）不成立，故得出结论．

解答： 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
∵函数f(x)=lnx-

1

2

ax2+bx(a＞0)
∴f′（x）=

1

x

-ax+b，又∵f′（1）=0
∴b=a-1．
（2）由a=1得，b=0，∴f′（x）=

1

x

-x=

(1-x)(1+x)

x

，
∴由f′（x）＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0得，x＞1；
∴f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞）．
（3）因P₁、P₂在f（x）=lnx-

1

2

ax²+bx（a＞0）的图象上，
∴y₁=lnx₁-

1

2

a

x

2 1

+（a-1）x₁，y₂=lnx₂-

1

2

a

x

2 2

+（a-1）x₂，
∴k=

y2-y1

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a（x₂+x₁）+a-1，
∵x₀=

x2+x1

2

，
∴f′（x）=

1

x

-ax+a-1
∴f′（x₀）=

2

x2+x1

-a•

x2+x1

2

+a-1，
假设k=f′（x₀），则得：

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a（x₂+x₁）+a-1）=

2

x2+x1

-a•

x2+x1

2

+a-1，
即

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x2+x1

，即ln

x1

x2

=

2 x1 x2 -2

x1 x2 +1

令t=

x1

x2

，则u（t）=lnt-

2t-2

t+1

（0＜t＜1），
∵u′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函数，∴u（t）＜u（1）=0，
∴lnt-

2t-2

t+1

＜0，∴假设k=f′（x₀）不成立，故假设k≠f′（x₀）．

点评：本题主要考查利用导数研究判断函数的单调性及求函数的单调区间最值等知识，考查解决存在性问题的转化策略，属难题．