Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=

2

，a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据周期求得ω，再根据五点法作图求得φ，从而求得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）设锐角△ABC中，由f（A）=

2

，求得sin（2A-

π

4

）的值，可得A的值．由余弦定理并利用基本不等式可得bc≤

4

2- 2

=4+2

2

，由此求得△ABC面积

1

2

bc•sinA的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

1

4

T=

1

4

•

2π

ω

=

π

8

-（-

π

8

）=

π

4

，
∴T=

2π

ω

=π，解得ω=2．
根据五点法作图可得2×

π

8

+φ=0，求得φ=-

π

4

，
∴函数f（x）=2sin（2x-

π

4

）．
（Ⅱ）设锐角△ABC中，∵f（A）=2sin（2A-

π

4

）=

2

，∴sin（2A-

π

4

）=

2

2

，∴A=

π

4

．
∵a=2，由余弦定理可得 a²=4=b²+c²-2bc•cos

π

4

≥（2-

2

）bc，∴bc≤

4

2- 2

=4+2

2

，
当且仅当b=c时，bc最大为4+2

2

，
故△ABC面积

1

2

bc•sinA的最大值为 （2+

2

）×

2

2

=

2

+1．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．