Question

已知数列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）；
（1）若数列{b_n}满足b_n=a_n-3a_n-1（n≥2），求数列{b_n}的通项公式b_n；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据递推数列，构造数列，利用等比数列的定义和通项公式即可，即可求数列{b_n}的通项公式b_n；
（2）利用递推数列，构成一个新的等比数列，两式联立即可得到结论．

解答： 解：（1）∵a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）；
∴a_n-3a_n-1=-（a_n-1-3a_n-2），
即{a_n-3a_n-1}是公比q=-1的等比数列，首项a₂-3a₁=2-15=-13，
即{b_n}的通项公式b_n=-13×（-1）^n-1．
（2）∵a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）；
∴a_n+a_n-1=3a_n-1+3a_n-2=3（a_n-1+a_n-2），
即{a_n+a_n-1}是公比前=3的等比数列，首项a₂+a₁=5+2=7，
∴a_n+a_n-1=7×3^n-1，①
由（1）得a_n-3a_n-1=-13×（-1）^n-1．②，
①×3+①得，
4a_n=3×7×3^n-1-13×（-1）^n-1．
即a_n=

1

4

[7×3ⁿ+13×（-1）ⁿ]．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法，利用递推数列进行构造两个等比数列是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．