Question

1．若函数$y=m{（\frac{1}{4}）^x}-{（\frac{1}{2}）^x}$+1仅有一个零点，则实数m 的取值范围是m≤0或$m=\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 令t=${（\frac{1}{2}）}^{x}$，则t＞0，y=mt²-t+1，若函数$y=m{（\frac{1}{4}）^x}-{（\frac{1}{2}）^x}$+1仅有一个零点，则mt²-t+1=0仅有一个正根，分类讨论，综合可得答案．

解答 解：令t=${（\frac{1}{2}）}^{x}$，则t＞0，y=mt²-t+1，
若函数$y=m{（\frac{1}{4}）^x}-{（\frac{1}{2}）^x}$+1仅有一个零点，
则mt²-t+1=0仅有一个正根，
当m＜0时，mt²-t+1=0有两个异号的根，满足条件；
当m=0时，-t+1=0有一个正根，满足条件；
当m＞0时，若mt²-t+1=0仅有一个正根，则△=1-4m=0，解得：m=$\frac{1}{4}$
综上可得：m≤0或$m=\frac{1}{4}$，
故答案为：m≤0或$m=\frac{1}{4}$

点评 本题考查的知识点是函数零点的个数及判定，转化思想，换元法，分类讨论思想，难度中档．