Question

11．如图，四棱锥P-ABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD中心，E为PC中点，则直线OE与直线PD所成角为（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 45°
• D． 90°

Answer 1

分析 可连接BD，AC，OP，由已知条件便知这三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可设棱长为2，从而可求出图形中一些点的坐标，据向量夹角的余弦公式便可求出

解答 解：根据条件知，P点在底面ABCD的射影为O，
连接AC，BD，PO，则OB，OC，OP三直线两两垂直，
从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：
设棱长为2，则：O（0，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），
PP（0，0，$\sqrt{2}$），E（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，
A（0，-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0，0），D（-$\sqrt{2}$，0，0）
∴$\overrightarrow{OE}=（0，\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{PD}=（-\sqrt{2}，0，-\sqrt{2}）$，
∴$COS＜\overrightarrow{OE}，\overrightarrow{PD}＞=\frac{\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{OE|}|\overrightarrow{PD}|}=-\frac{1}{2}$
∴OE与PD所成角为60°．故选：B．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角的方法，能求空间点的坐标，向量夹角的余弦的坐标公式，弄清异面直线的方向向量的夹角和异面直线所成角的关系．