Question

6．（1）已知cosα+2sinα=-$\sqrt{5}$，求 tanα 的值．
（2）已知tan（π+α）=$\frac{1}{2}$，求$\frac{sin（α-π）cos（α-\frac{π}{2}）-co{s}^{2}（-π-α）}{1-sin（-π-α）sin（-\frac{π}{2}+α）+co{s}^{2}（α+π）}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及同角三角函数基本关系式整理可得5sin²α+4$\sqrt{5}$sinα+4=0，进而解得sinα，cosα的值，利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值．     
（2）由已知可求tan$α=\frac{1}{2}$，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由 $\left\{\begin{array}{l}{cosα+2sinα=-\sqrt{5}}\\{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α=1}\end{array}\right.$，…（1分）
得 5sin²α+4$\sqrt{5}$sinα+4=0，…（3分）
（$\sqrt{5}$sinα+2）²=0，
所以 sinα=-$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosα=-$\frac{1}{\sqrt{5}}$，…（5分）
tanα=2．                             …（6分）
（2）由tan（π+α）=$\frac{1}{2}$，得tan$α=\frac{1}{2}$，…（8分）
$\frac{sin（α-π）cos（α-\frac{π}{2}）-co{s}^{2}（-π-α）}{1-sin（-π-α）sin（-\frac{π}{2}+α）+co{s}^{2}（α+π）}$
=$\frac{（-sinα）sinα-co{s}^{2}α}{1-sinα（-cosα）+co{s}^{2}α}$               …（10分）
=-$\frac{ta{n}^{2}α+1}{ta{n}^{2}α+tanα+2}$=-$\frac{\frac{1}{4}+1}{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+2}$=-$\frac{5}{11}$．  …（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．