Question

13．函数f（x）=sin（ωx+ϕ）$（ω＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$，f（0）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且对任意${x_1}，{x_2}∈（\frac{π}{2}，π）$均满足$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}＜0（{x_1}≠{x_2}）$，则ω的取值范围是$\frac{1}{2}$≤ω≤$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意，得出函数的周期T=$\frac{2π}{ω}$≥π，解得ω≤2；
由题意得出f（x）是（$\frac{π}{2}$，π）上的单调减函数，得出$\frac{π}{2}$+2kπ＜ωx+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
由此建立不等关系，求出实数ω的取值范围．

解答 解：函数f（x）=sin（ωx+φ），且f（0）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴sinφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$；
又对任意${x_1}，{x_2}∈（\frac{π}{2}，π）$均满足$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}＜0（{x_1}≠{x_2}）$，
∴f（x）在（$\frac{π}{2}$，π）上是单调减函数，
∴ωx+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{1}{2}$ωπ+$\frac{π}{4}$，ωπ+$\frac{π}{4}$），
且周期T=$\frac{2π}{ω}$≥π，解得ω≤2；
∵f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）的减区间满足：
$\frac{π}{2}$+2kπ＜ωx+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
取k=0时，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ωπ+\frac{π}{4}≥\frac{π}{2}}\\{ωπ+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}$≤ω≤$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$≤ω≤$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的单调性质与图象的变换应用问题，属于综合性题目．