Question

12．定圆M：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，动圆N过点F（$\sqrt{3}$，0）且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．求轨迹E的方程．

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用圆心距与半径的关系可得：|MN|+|MF|=4$＞2\sqrt{3}$，从而得M的轨迹E是以M、F为焦点的椭圆，由椭圆的定义可得曲线E的方程．

解答 解：如图，A（-$\sqrt{3}$，0），F（$\sqrt{3}$，0），定圆M：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，动圆N过点F（$\sqrt{3}$，0）且与圆M相切，

∵|MN|=4-|FM，
可得：|MN|+|MF|=4$＞2\sqrt{3}$，
∴N的轨迹E是以M、F为焦点的椭圆，且a=2，c=$\sqrt{3}$，
则b²=a²-c²=1，
∴曲线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查了圆与圆位置关系的应用，考查了椭圆的定义，是中档题．