设函数f(x)=a1sin(x+a1)+a2sin(x+a2)+-+ansin(x+an).其中ai.aj(i=1.2.-.n.n∈N*.n≥2)为已知实常数.x∈R.下列关于函数f(x)的性质判断正确的个数是( )①若f=0.则f(x)=0对任意实数x恒成立,②若f为奇函数,③若f=0.则函数f(x)为偶函数,④当f2(0)+f2≠0时.若f(x1)=f(x2)=0.则x1-x2=k� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．设函数f（x）=a₁sin（x+a₁）+a₂sin（x+a₂）+…+a_nsin（x+a_n），其中a_i，a_j（i=1，2，…，n，n∈N^*，n≥2）为已知实常数，x∈R，下列关于函数f（x）的性质判断正确的个数是（　　）
①若f（0）=f（$\frac{π}{2}$）=0，则f（x）=0对任意实数x恒成立；
②若f（0）=0，则函数f（x）为奇函数；
③若f（$\frac{π}{2}$）=0，则函数f（x）为偶函数；
④当f²（0）+f²（$\frac{π}{2}$）≠0时，若f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁-x₂=kπ（k∈Z）

A．

B．

C．

D．

分析对于②，先由f（0）=0，得出a₁•sin（α₁）+a₂•sin（α₂）+…+a_n•sin（α_n）=0，要判断函数为奇函数，只需验证f（-x）+f（x）=0；
对于③，先由f（$\frac{π}{2}$）=0，得出-a₁•cos（α₁）-a₂•cos（α₂）+…-a_n•cos（α_n）=0，要判断函数为偶函数，只需验证f（-x）-f（x）=0；
对于①：由①知函数f（x）为奇函数，由②知函数为偶函数，从而f（x）=0；
对于④：当f²（0）+f²（$\frac{π}{2}$）≠0时，由f（x₁）=f（x₂）=0，得（sinx₁-sinx₂）（a₁cosα₁+…+a_ncosα_n）+（cosx₁-cosx₂）（a₁sinα₁+…+a_nsinα_n）=0，故可得结论．

解答解：∵函数f（x）=a₁sin（x+a₁）+a₂sin（x+a₂）+…+a_nsin（x+a_n），
其中a_i，a_j（i=1，2，…，n，n∈N^*，n≥2）为已知实常数，x∈R，
对于②：若f（0）=0，则f（0）=a₁•sin（α₁）+a₂•sin（α₂）+…+a_n•sin（α_n）=0，
f（-x）+f（x）=a₁•sin（-x+α₁）+a₂•sin（-x+α₂）+…+a_n•sin（-x+α_n）+a₁•sin（x+α₁）+a₂•sin（x+α₂）+…+a_n•sin（x+α_n）
=2cosx[a₁•sinα₁+a₂•sinα₂+…+a_n•sinα_n]=0，
∴函数f（x）为奇函数，故②正确．
对于③：若f（$\frac{π}{2}$）=0，则f（$\frac{π}{2}$）=a₁•sin（$\frac{π}{2}$+α₁）+a₂•sin（$\frac{π}{2}$+α₂）+…+a_n•sin（$\frac{π}{2}$+α_n）
=-a₁•cos（α₁）-a₂•cos（α₂）-…-a_n•cos（α_n）=0，
∴f（-x）-f（x）=a₁•sin（-x+α₁）+a₂•sin（-x+α₂）+…+a_n•sin（-x+α_n）
-a₁•sin（x+α₁）-a₂•sin（x+α₂）-…-a_n•sin（x+α_n）=2sinx[a₁•cosα₁+a₂•cosα₂+…+a_n•cosα_n]=0，
∴函数f（x）为偶函数，故③正确．
对于①：若f（0）=f（$\frac{π}{2}$）=0，则函数f（x）为奇函数，也为偶函数，
∴f（x）=0对任意实数x恒成立，故①正确．
对于④：当f²（0）+f²（$\frac{π}{2}$）≠0时，若f（x₁）=f（x₂）=0，
则f（x₁）=a₁•sin（x₁+α₁）+a₂•sin（x₁+α₂）+…+a_n•sin（x₁+α_n）
=f（x₂）=a₁•sin（x₂+α₁）+a₂•sin（x₂+α₂）+…+a_n•sin（x₂+α_n）=0，
∴（sinx₁-sinx₂）（a₁cosα₁+…+a_ncosα_n）+（cosx₁-cosx₂）（a₁sinα₁+…+a_nsinα_n）=0，
∴sinx₁-sinx₂=0，可得x₁-x₂=kπ（k∈Z），故④正确．
故选：A．