Question

已知函数f（x）=

ex-1，x＞0 1 3 x3- 1 2 ax2，x≤0

（其中a∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），g（x）=ln（x+1）．
（Ⅰ）试求函数f（x）在R上的极值；
（Ⅱ）若x₁＞x₂＞0，试证f（x₁-x₂）＞g（x₁-x₂）＞g（x₁）-g（x₂）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由题意易知，f（x）在R上连续，且f（x）=e^x-1为增函数，故讨论f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²的单调性即可，求导f′（x）=x²-ax=x（x-a）；由导数的正负确定函数的单调性，从而求极值；
（Ⅱ）当x＞0时，令h（x）=f（x）-g（x）=e^x-1-ln（x+1），求导h′（x）=e^x-

1

x+1

，从而可证明h（x）在（0，+∞）上是增函数，从而可证明f（x₁-x₂）＞g（x₁-x₂），再证g（x₁-x₂）-（g（x₁）-g（x₂））＞0即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意易知，f（x）在R上连续，
当x＞0时，f（x）=e^x-1为增函数；
当x≤0时，f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²；
f′（x）=x²-ax=x（x-a）；
当a≥0时，x（x-a）≥0，
故f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²在[0，+∞）上为增函数，
故没有极值，
当a＜0时，
a＜x＜0时，f′（x）＜0，x≤a时，f′（x）≥0；
故f（x）在（-∞，a]上是增函数，在（a，0）上是减函数，
故f（x）在x=a处有极大值-

a3

6

；f（x）在x=0处有极小值f（0）=0；
（Ⅱ）当x＞0时，令h（x）=f（x）-g（x）=e^x-1-ln（x+1），
则h′（x）=e^x-

1

x+1

，
由函数的运算及复合函数的单调性可得，
h′（x）=e^x-

1

x+1

在（0，+∞）上是增函数，
故h′（x）＞h′（0）=1-1=0；
故h（x）在（0，+∞）上是增函数，
故h（x）＞h（0）=1-1-0=0；
又∵x₁＞x₂＞0，∴x₁-x₂＞0；
故h（x₁-x₂）＞0，
即f（x₁-x₂）＞g（x₁-x₂）；
而g（x₁-x₂）-（g（x₁）-g（x₂））
=ln（x₁-x₂+1）-（ln（x₁+1）-ln（x₂+1））
=ln（x₁-x₂+1）-ln

x1+1

x2+1

，
∵x₁-x₂+1-

x1+1

x2+1

=

x2(x1-x2)

x2+1

＞0；
故ln（x₁-x₂+1）-ln

x1+1

x2+1

＞0，
故g（x₁-x₂）＞g（x₁）-g（x₂）．
故f（x₁-x₂）＞g（x₁-x₂）＞g（x₁）-g（x₂）．

点评：本题考查了导数的综合应用及分段函数的极值的求法，同时考查了对数函数的单调性应用，属于中档题．