Question

某市物价局调查了治疗某种流感的常规药品在2012年每个月的批发价格和该药品在药店的销售价格，调查发现，该药品的批发价按月份以12元/盒为中心价随某一正弦曲线上下波动，且3月份的批发价格最高为14元/盒，7月份的批发价格最低为10元/盒．该药品在药店的销售价格按月份以14元/盒为中心价随另一正弦曲线上下波动，且5月份的销售价格最高为16元/盒，9月份的销售价格最低为12元/盒．
（1）求该药品每盒的批发价格f（x）和销售价格g（x）关于月份x的函数解析式；
（2）假设某药店每月初都购进这种药品p盒，且当月售完，求该药店在2012年哪些月份是盈利的？说明你的理由．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意，设f（x）=A₁sin（?₁x+φ₁）+12，g（x）=A₂sin（?₂x+φ₂）+14，由题意确定参数即可；
（2）解不等式g（x）-f（x）=2sin（

π

4

x-

3π

4

）+14-（2sin（

π

4

x-

π

4

）+12）＞0即可．

解答： 解：（1）由题意，设f（x）=A₁sin（?₁x+φ₁）+12，g（x）=A₂sin（?₂x+φ₂）+14，
其中A₁=

14-10

2

=2，?₁=

2π

2×(7-3)

=

π

4

，
故由f（3）=2sin（

π

4

×3+φ₁）+12=14得，
φ₁=-

π

4

；
故f（x）=2sin（

π

4

x-

π

4

）+12；
同理可得，
g（x）=2sin（

π

4

x-

3π

4

）+14，（1≤x≤12，x∈N）；
（2）g（x）-f（x）=2sin（

π

4

x-

3π

4

）+14-（2sin（

π

4

x-

π

4

）+12）＞0，
即sin

π

4

x＜

2

2

；
又∵1≤x≤12，x∈N，
∴x=4，5，6，7，8，12；
即该药店在2012年的4，5，6，7，8，12月份是盈利的．

点评：本题考查了三角函数在实际问题中的应用及三角恒等变换，属于中档题．