Question

已知函数f（x）=

lnx

x

（1）求f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（a＞0）都成立，求m范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先确定定义域为（0，+∞），求导，则由“f′（x）≥0，为增区间，f′（x）≤0，为减区间”求解．
（2）将“不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立”转化为：m＞

lnx

x

，“对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，”只要求得f（x）在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值即可．

解答： 解：（1）定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=

1-lnx

x2

，
令f′（x）=0，解得x=e，
当f′（x）＞0，解得0＜x＜e，
当f′（x）＜0，解得x＞e，
∴f（x）的单调递增区间为（0，e）；f（x）的单调递减区间为（e，+∞）．
（2）∵不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴m＞

lnx

x

，对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴下面即求f（x）=

lnx

x

 在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值；
∵a＞0，由（1）知：f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
当2a≤e时，即0＜a≤

e

2

时，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f（x）_max=f（2a）=

ln2a

2a

；
当a≥e时，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f（x）_max=f（2a）=

lna

a

；
当a＜e＜2a时，即

e

2

＜a＜e时，f（x）在[a，e]上单调递增，f（x）在[e，2a]上单调递减，
∴f（x）_max=f（e）=

1

e

．
综上得：
当0＜a≤

e

2

时，m＞

ln2a

2a

；
当a≥e时，m＞

lna

a

；
当

e

2

＜a＜e时，m＞

1

e

．

点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围时，往往转化为求相应函数的最值问题．