Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，M、N分别是BC、CC₁的中点．求证：B₁M⊥平面AMN．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：由已知可依次求出AM，AN，AB₁，B₁M，MN，B₁N的值，根据勾股定理可证明B₁M⊥AM，B₁M⊥MN，从而可证B₁M⊥平面AMN．

解答：
证明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，M、N分别是BC、CC₁的中点．
∴AM=2，AN=

AC2+CN2

=

5

，AB₁=2

2

，B₁M=

B1B2+BM2

=

6

，MN=

3

，B₁N=3．
∴AM2+B1M2=AB12，即有B₁M⊥AM，
MN2+B1M2=B1N2，即有B₁M⊥MN，
∵AM∩MN=M
∴B₁M⊥平面AMN．

点评：本题主要考察了直线与平面垂直的判定，勾股定理的应用，属于基本知识的考查．