Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A为钝角，且2asinB=

3

b．
（1）求∠A的大小；
（2）若a²-b²=2c，求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理化简式子求出sinA的值，再由A为钝角求出A的值；
（2）由（1）和余弦定理得：a²=b²+c²+bc，把a²-b²=2c代入式子化简，利用基本不等式和三角形的面积公式，求出△ABC面积S的最大值．

解答： 解：（1）由题意得，2asinB=

3

b，
由正弦定理得，2sinAsinB=

3

sinB，
又sinB≠0，则sinA=

3

2

，
因为A为钝角，所以A=120°；
（2）由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
化简得，a²=b²+c²+bc，
把a²-b²=2c代入上式得，2c=c²+bc，则b+c=2，
因为b+c≥2

bc

，所以bc≤1（当且仅当b=c时取等号），
则△ABC面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

bc×

3

2

≤

3

4

，
所以△ABC面积S的最大值是

3

4

．

点评：本题考查正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及利用基本不等式三角形的面积最值问题，属于中档题．