Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-a_n（n∈N⁺）．
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列，并写出{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a（a_n-1）-（2n+1）（a为常数）．若b₃＞0，当且仅当a=3时，|b_n|取到最小值，求a的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由S_n=n-a_n（n∈N⁺）．得S_n-1=n-1-a_n-1（n≥2）．两式相减，得2a_n=a _n-1+1，变形得出a_n-1=

1

2

（a_n-1-1），从而数列{a_n-1}为等比数列，通过求出数列{a_n-1}的通项公式求出{a_n}的通项公式．
（2）b_n=a（a_n-1）-（2n+1）=-

a

2n

-（2n+1），由b₃＞0得出a＜-56，数列{b_n}为递减数列，由已知仅当a=3时，|b_n|取到最小值，所以b₄＜0，b₃＜|b₄|=-b₄，即b₃+b₄＜0
通过不等式组求出a的范围．

解答： 解：（1）因为S_n=n-a_n（n∈N⁺）．S_n-1=n-1-a_n-1（n≥2）．
两式相减，得2a_n=a _n-1+1，即a_n-1=

1

2

（a_n-1-1），
又a₁=1-a₁，所以a₁=

1

2

，a₁-1=-

1

2

，
所以数列{a_n-1}是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列，
所以a_n-1=-

1

2

•（

1

2

）^n-1，得出{a_n}的通项公式a_n=1-

1

2n

，
（2）b_n=a（a_n-1）-（2n+1）=-

a

2n

-（2n+1）
由b₃＞0，得a＜-56（＜0）①，∴数列{b_n}为递减数列．
因为当且仅当a=3时，|b_n|取到最小值，所以b₄＜0②，b₃＜|b₄|=-b₄，即b₃+b₄＜0③
①②③联立解得-

256

3

＜a＜-56．

点评：本题考查数列通项公式求解，数列的单调性及应用，考查转化构造，推理计算能力．