Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=2，AB⊥AC，M、N分别是CC₁、BC的中点，点P在线段A₁B₁上，且

A1P

=λ

A 1B1

（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；
（2）当λ=

1

2

时，求平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断

PN

•

AM

=0，即AM⊥PN．
（2）分别求出平面ABC的一个法向量和平面PMN的法向量，由此利用向量法能求出平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

解答： （1）证明：如图，以A为原点，AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz．
则P（λ，0，2），N（1，1，0），M（0，2，1），
从而

PN

=（1-λ，1，-2），

AM

=（0，2，1），

PN

•

MN

=0，∴无论λ取何值，总有AM⊥PN．
（2）平面ABC的一个法向量为

n

=（0，0，1），
当λ=

1

2

时，P（1，0，2），M（0，2，1），N（1，1，0），

PM

=（-1，2，-1），

PN

=（1，-1，-1），
设平面PMN的法向量

m

=（x，y，z），
则

m • PM =-x+2y-z=0 m • PN =x-y-z=0

，取y=2，得

n

=（3，2，1），
设平面PMN与平面ABC所成锐二面角的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=

1

14

=

14

14

，
∴平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值为

14

14

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．