Question

5．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=3，AD=4，AB=5，则直线BD₁与平面ABCD所成的角的正弦值是（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{{3\sqrt{2}}}{10}$
• C． $\frac{3}{{\sqrt{34}}}$
• D． $\frac{5}{{\sqrt{34}}}$

Answer 1

分析 连结BD₁、BD，由D₁D⊥平面ABCD，得直线BD₁与平面ABCD所成的角为∠D₁BD，由此能求出直线BD₁与平面ABCD所成的角的正弦值．

解答 解：连结BD₁、BD，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，
∴直线BD₁与平面ABCD所成的角为∠D₁BD，
∵AA₁=3，AD=4，AB=5，
∴BD=$\sqrt{25+16}$=$\sqrt{41}$，BD₁=$\sqrt{41+9}$=5$\sqrt{2}$，
∴sin∠D₁BD=$\frac{D{D}_{1}}{B{D}_{1}}$=$\frac{3}{5\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$．
∴直线BD₁与平面ABCD所成的角的正弦值是$\frac{3\sqrt{2}}{10}$．
故选：B．

点评 本题考查直角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．