Question

已知数列{a_n}是公比大于1的等比数列，T_n是{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*有a_n+1=T_n+

3

2

a_n+

1

2

，数列{b_n}满足b_n=

1

n

（log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n+log₃t）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若{b_n}为等差数列，求t的值及数列{

1

bn+1•bn+3

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得an+1=

7

2

an-

3

2

an-1，设公比为q，则q2=

7

2

q-

3

2

，由此求出an=3n-1．
（2）b_n=

1

n

（log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n+log₃t）=

n-1

2

+

1

n

log3t，由此能求出t=1，

1

bn+1•bn+3

=

2

n

×

2

n+2

=2（

1

n

-

1

n+2

），由此能求出数列{

1

bn+1•bn+3

}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是公比大于1的等比数列，
T_n是{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*有a_n+1=T_n+

3

2

a_n+

1

2

，①
∴n≥2时，a_n=T_n-1+

3

2

a_n-1+

1

2

，②
①-②，得a_n+1-a_n=a_n+

3

2

an-

3

2

an-1，
∴an+1=

7

2

an-

3

2

an-1，
设公比为q，则a1qn=

7

2

a1qn-1-

3

2

a1qn-2，
∴q2=

7

2

q-

3

2

，
解得q=

1

2

或q=3，由q＞1，得q=3，
a1q=a1+

3

2

a1+

1

2

，解得a₁=1，
∴an=3n-1．
（2）b_n=

1

n

（log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n+log₃t）（n∈N^*）
=

1

n

（1+2+3+…+n-1+log₃t）
=

1

n

•

(n-1)n

2

+

1

n

log3t
=

n-1

2

+

1

n

log3t，
∵{b_n}为等差数列，
∴b_n-b_n-1=

n-1

2

+

1

n

log3t-

n-2

2

-

1

n-1

log3t=

1

2

+

1

n

log3t-

1

n-1

log3t=

1

2

，
∴t=1，
∴b_n=

n-1

2

，
∴

1

bn+1•bn+3

=

2

n

×

2

n+2

=2（

1

n

-

1

n+2

），
∴S_n=2（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=2（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=2（

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=3-

4n+6

(n+1)(n+2)

．

点评：本题考查数列{a_n}的通项公式的求法，考查t的值及数列{

1

bn+1•bn+3

}的前n项和S_n的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．