Question

已知函数m（x）=log₄（4^x+1），n（x）=kx（k∈R）
（1）当x＞0时，F（x）=m（x），且F（x）为R上的奇函数，求x＜0时F（x）的表达式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）为偶函数，求k的值；
（3）对（2）中的函数f（x），设g（x）=log₄（2^x-

4

3

a），若函数f（x）与g（x）的图象有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x＜0，则-x＞0，运用已知区间上的解析式，结合奇函数的定义，即可得到所求；
（2）运用偶函数的定义，结合对数的运算性质，化简整理，即可求得k；
（3）函数的图象有公共点，即为方程f（x）=g（x）有解，化简方程，再由指数函数的值域，即可求得a的范围．

解答： 解：（1）令x＜0，则-x＞0，
由于当x＞0时，F（x）=log₄（4^x+1），
则F（-x）=log₄（4^-x+1），
又F（x）为R上的奇函数，则F（-x）=-F（x），
则有x＜0时，F（x）=-log₄（4^-x+1）；
（2）f（x）=m（x）+n（x）=log₄（4^x+1）+kx，
由于f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx，
即有2kx=log₄

4-x+1

4x+1

=log₄

1

4x

=-x，
即有k=-

1

2

；
（3）f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x，令f（x）=g（x），
则log₄

4x+1

2x

=log₄（2^x-

4

3

a），
即有

4x+1

2x

=2^x-

4

3

a，即为2^-x=-

4

3

a，
由于2^-x＞0，则a＜0，
则函数f（x）与g（x）的图象有公共点，
即有a的取值范围是（-∞，0）．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断和运用：求解析式，求参数，考查对数的运算性质和指数函数的值域，属于基础题．