Question

求函数y=sinx+sin2x-cosx（x∈R）的值域．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：令t=sinx-cosx，由三角函数运算可得y=-（t+

1

2

）²-

5

4

，由二次函数区间的最值可得．

解答： 解：令t=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

）∈[-

2

，

2

]，
则t²=（sinx-cosx）²=1-sin2x，∴sin2x=1-t²，
∴y=sinx+sin2x-cosx=-t²+t+1=-（t-

1

2

）²+

5

4

，
∴由二次函数可知当t=

1

2

时，y取最大值

5

4

，
当t=-

2

时，y取最小值-

2

-1，
∴函数y=sinx+sin2x-cosx（x∈R）的值域为[-

2

-1，

5

4

]

点评：本题考查三角函数的最值，涉及换元法和二次函数区间的最值，属中档题．