Question

已知

a

=（y-m，sinx），

b

=（1，sinx-1）．

a

⊥

b

（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）若y=f（x）的图象无零点，求m的取值范围；
（3）求y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数零点的判定定理

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量垂直与数量积的关系即可得出；
（2）利用sinx的值域即可得出；
（3）令t=sinx，则y=-t²+t+m=-(t-

1

2

)2+

1

4

+m，利用二次函数的单调性与y=sinx的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

⊥

b

，∴y-m+sinx（sinx-1）=0，
∴y=f（x）=-sinx²+sinx+m，x∈R．
（2）∵sinx∈[-1，1]，
∴y=f(x)∈[-2+m，

1

4

+m]；
若y=f（x）的图象无零点，则-2+m＞0或

1

4

+m＜0，
解得m＞2或m＜-

1

4

．
（3）令t=sinx，则y=-t²+t+m=-(t-

1

2

)2+

1

4

+m，
当t＞0.5时，y=-t²+t+m是单调递减的，
此时t=sinx的递减区间[2kπ+

π

2

，2kπ+

5π

6

]；
当t＜0.5时，y=-t²+t+m是单调递增的，
且此时t=sinx的递增区间[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

6

]；
综上，由复合函数单调性判定法则得所求函数的单调递增区间：[2kπ+

π

2

，2kπ+

5π

6

]；和[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

6

]；k∈Z．

点评：本题考查了数量积运算与垂直的关系、二次函数的单调性、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．