Question

已知(

3

x

-

3	x

)n的展开式的各项系数之和等于(4

3	x

-

1

5x

)5展开式中的常数项，求(

3

x

-

3	x

)n展开式中含x^-1的项的二项式系数．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：先求得 (4

3	x

-

1

5x

)5展开式中的常数项为 T3=27，而(

3

x

-

3	x

)n的展开式各项系数和为2⁷，结合条件求得n=7，由(

3

x

-

3	x

)7的二项展开式的通项公式知，含x^-1的项是第4项（r=3），从而求得该项的二项式系数．

解答： 解：由于 (4

3	x

-

1

5x

)5的展开式的通项为Tr+1=

C

r 5

(4

3	x

)5-r(-

1

5x

)r=(-

1

5

)r•45-r

C

r 5

•x

10-5r

6

，(r=0，1，2，3，4，5)，
若它为常数项，则

10-5r

6

=0，求得r=2，代入上式求得常数项为 T3=27．
即常数项是2⁷，从而可得(

3

x

-

3	x

)n的展开式各项系数和为2ⁿ=2⁷，∴n=7．
同理(

3

x

-

3	x

)7由二项展开式的通项公式知，含x^-1的项是第4项（r=3），
其二项式系数是

C

2 7

=35．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．