题目内容
已知数列{an}中，a1=4，an＞0，前n项和为Sn，若an=
+
，（n∈N*，n≥2）．
（l）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{
}前n项和为Tn，求证
≤Tn≤
．
| Sn |
| Sn-1 |
（l）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{
| 1 |
| anan+1 |
| 1 |
| 20 |
| 3 |
| 20 |
考点：数列与不等式的综合
专题：点列、递归数列与数学归纳法
分析：（l）根据数列的递推关系即可求数列{an}的通项公式；
（2）求出数列{
}前n项和为Tn，利用不等式的性质即可证明
≤Tn≤
．
（2）求出数列{
| 1 |
| anan+1 |
| 1 |
| 20 |
| 3 |
| 20 |
解答：
解：（1）∵an=
+
=Sn-Sn-1=（
+
）（
-
）．（n∈N*，n≥2）．
∴
-
=1，
即{
}是一个首项为
=
=
=2，公差d=1的等差数列，
则
=2+n-1=n+1，
则Sn=（n+1）2，
当n≥2时，an=
+
=n+1+n=2n+1，
当n=1时，a1=4不满足an，
∴数列{an}的通项公式an=
（2）若数列{
}前n项和为Tn，
则Tn=
+
+…+
=
+
+
+…+
=
+
（
-
+
-
+…+
-
）
=
+
（
-
）=
-
，
∵
≤
，
∴
≤Tn≤
．
| Sn |
| Sn-1 |
| Sn |
| Sn-1 |
| Sn |
| Sn-1 |
∴
| Sn |
| Sn-1 |
即{
| Sn |
| S1 |
| a1 |
| 4 |
则
| Sn |
则Sn=（n+1）2，
当n≥2时，an=
| Sn |
| Sn-1 |
当n=1时，a1=4不满足an，
∴数列{an}的通项公式an=
|
（2）若数列{
| 1 |
| anan+1 |
则Tn=
| 1 |
| a1a2 |
| 1 |
| a2a3 |
| 1 |
| anan+1 |
| 1 |
| 4×5 |
| 1 |
| 5×7 |
| 1 |
| 7×9 |
| 1 |
| (2n+1)(2n+3) |
| 1 |
| 20 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+3 |
=
| 1 |
| 20 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 2n+3 |
| 3 |
| 20 |
| 1 |
| 4n+6 |
∵
| 1 |
| 4n+6 |
| 1 |
| 10 |
∴
| 1 |
| 20 |
| 3 |
| 20 |
点评：本题主要考查数列的通项公式的应用，以及数列和不等式的综合应用，利用裂项法求和是解决本题的关键．
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