Question

如图所示，某几何体的直观图、侧视图与俯视图如图所示，正视图为矩形，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC交BD于点G．
（1）求证：AE∥平面BFD；
（2）求三棱锥C-BGF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由线面垂直得CE⊥BF，由G、F分别是AC、BC中点，FG∥AE，由此能证明AE∥平面BFD．
（2）由V_C-BGF=V_G-BCF，利用等积法能求出三棱锥C-BGF的体积．

解答： （1）证明：∵ABCD是矩形，∴G是AC中点，
∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF，
由三视图知BC=BE=2，∴F是BC中点，
连结FG，得FG∥AE，
∴AE∥平面BFD．
（2）解：由（1）得FG∥AE，
由三视图知AE⊥面BCE，
∴FG⊥面BCE，
在Rt△BCE中，BF=

1

2

CE=CF=

2

，
∴S_△CFB=

1

2

×

2

×

2

=1，
又FG=

1

2

AE=1，
∴V_C-BGF=V_G-BCF=

1

3

•S△CFB•FG=

1

3

×1×1=

1

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．