Question

给出下列命题：
①若a＞b，则

1

a

＜

1

b

成立的充要条件是ab＞0；
②若不等式x²+ax-4＜0对任意x∈（-1，1）恒成立，则a的取值范围为（-3，3）；
③数列{a_n}满足：a₁=2068，且a_n+1+a_n+n²=0（n∈N^*），则a₁₁=2013；
④设0＜x＜1，则

a2

x

+

b2

1-x

的最小值为（a+b）²
其中所有真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：对于①，将a＞b，两边同时乘以

1

ab

即可；
对于②，根据可以构造二次函数转化为不等式判断；
对于③，根据数列的递推公式，寻找a_n+2和a_n之间的关系，累加即可得；
对于④，利用函数求值域，或者根据基本不等式．

解答： 解：①∵a＞b，故a-b＞0，由

1

a

＜

1

b

?

1

a

-

1

b

＜0?

b-a

ab

＜0?ab＞0．①是正确的；
②要使x²+ax-4＜0对任意x∈（-1，1）恒成立，
令f（x）=x²+ax-4，只要

f(-1)≤0 f(1)≤0

，即

1-a-4≤0 1+a-4≤0

，得a的范围是[-3，3]，②是不正确的；
③∵a_n+1+a_n+n²=0①，用n+1代替n，得a_n+2+a_n+1+（n+1）²=0②，
两式相减，得a_n+2-a_n=-2n-1，
∴a₃-a₁=-2×1-1①
a₅-a₃=-2×3-1②
…
a₁₁-a₉=-2×9-1⑤，
将以上五个等式相累加，得a₁₁-a₁=-2（1+3+5+7+9）-5
又a₁=2068，
∴a_11=2013，故③是正确的．
④，0＜x＜1⇒0＜1-x＜1，
又x+（1-x）=1，
∴

a2

x

+

b2

1-x

=(

a2

x

+

b2

1-x

)[（x+（1-x）]
=a2+b2+a2•

1-x

x

+b2•

x

1-x

≥a2+b2+2

a2b2• 1-x x • x 1-x

=（a+b）²，当且仅当a2•

1-x

x

=b2•

x

1-x

，即x=

a

a+b

时取等号，
∴

a2

x

+

b2

1-x

的最小值是（a+b）²，即结论④正确；
故答案为：①③④．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，考查了不等式的性质和不等式的应用，以及递推数列求数列的项的知识；利用不等式的性质解题，不等式成立的条件是关键，尤其是等号取得的条件，属于难题．