Question

求函数y=x+

1-x2

的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：利用三角换元，化成三角函数，再根据三角函数的值域求解

解答： 解：由y=x+

1-x2

，知1-x²≥0，得-1≤x≤1，
0≤

1-x2

≤1，令x=sinθ，设θ∈[-

π

2

，

π

2

]，

1-x2

=cosθ
所以，原函数化为y=sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

）
∵-

π

2

≤θ≤

π

2

，∴-

π

4

≤θ+

π

4

≤

3π

4

得sin（θ+

π

4

）的值域是[-

2

2

，1]，则函数y=

2

sin(θ+

π

4

)的值域是
[-1，

2

]，故函数的值域是[-1，

2

]

点评：本题考查复合函数求值域的问题；也可以利用导数，求单调区间判断函数的单调性求解．