Question

若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且

OP

=λ

OB

+μ

OC

（λ，μ∈R），则下列说法正确的有

 

①若λ+μ=1且λ＞0，则点P在线段BC的延长线上；
②若λ+μ=1且λ＜0，则点P在线段BC的延长线上；
③若λ+μ＞1，则点P在△OBC外；
④若λ+μ＜1，则点P在△OBC内．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：根据向量的减法运算，向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及相反向量的概念即可判断出每一项的正误．

解答： 解：因为

OP

=λ

OB

+μ

OC

(λ，μ∈R)
①若λ+μ=1且λ＞0，

OP

=λ

OB

+(1-λ)

OC

=

OC

+λ(

OB

-

OC

)故

OP

-

OC

=λ(

OB

-

OC

)即

CP

=λ

CB

又λ＞0则点P在线段BC或其反向延长线上，错误；
②若λ+μ=1且λ＜0，同上可得

CP

=λ

CB

而λ＜0则点P在线段BC的延长线上，正确；
③若λ+μ＞1，

OP

=λ

OB

+(1-λ)

OC

+(λ+μ-1)

OC

，同上可得

CP

=λ

CB

+(λ+μ-1)

OC

，当λ+μ＞1时，λ+μ-1＞0根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P在△OBC外，正确；
④若λ+μ＜1，不防令λ=0，μ=-1则

OP

=-

OC

，很显然此时点P在线段CO的延长线上，不在△OBC内，错误．
所以说法正确的有：②③．
故答案为：②③．

点评：考查向量的减法运算，向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及相反向量的概念．