Question

在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为

x=-2+ 2 t y=-4+ 2 t.

（t为参数）．直线l与曲线C分别交于M、N．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求实数a的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：

分析：由曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），化为ρ²sin²θ=2aρcosθ，可得直角坐标方程，将直线l的参数方程化为标准形式

x=-2+ 2 2 t′ y=-4+ 2 2 t′.

(t′为参数)，代入曲线C的直角坐标方程得：

1

2

t′2-(4

2

+

2

a)t′+16+4a=0，由于直线与曲线交于两点，可得△＞0．设交点M，N对应的参数分别为t1′，t2′．可得根与系数的关系，若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，可得|t1′-t2′|2=|t1′t2′|，解出即可．

解答： 解：由曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），化为ρ²sin²θ=2aρcosθ，可得直角坐标方程为y²=2ax  （a＞0），
将直线l的参数方程化为标准形式

x=-2+ 2 2 t′ y=-4+ 2 2 t′.

(t′为参数)，
代入曲线C的直角坐标方程得：

1

2

t′2-(4

2

+

2

a)t′+16+4a=0，
∵直线与曲线交于两点，
∴△＞0，即a＞0或a＜-4．
设交点M，N对应的参数分别为t1′，t2′．
则t1′+t2′=2(4

2

+

2

a)，t1′t2′=2(16+4a)．
若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，
则|t1′-t2′|2=|t1′t2′|，
解得a=1或a=-4（舍）
所以满足条件的a=1．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、参数的应用、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．